[2016년 대진고]

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[1학년 2학기 기말]

함수 [eqn: f(x)= { ax+b} over {x+2 }]와 그 역함수 [eqn: f^-1 (x)]는 일치하고 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 두 교점 사이의 거리가 [eqn: 4]이다. 이때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: y=- sqrt { 2x} +1]에 대한 설명으로 옳은 것은? [4.6점]

④

① 정의역은 [eqn: left{`x`|`x le0 right]이다.

② 치역은 [eqn: left{`y`|`y ge 1right]이다.

③ 그래프는 제[eqn: 2]사분면을 지난다.

④ 그래프는 [eqn: y= sqrt { 2x} -1]의 그래프와 [eqn: x]축에 대하여 대칭이다.

⑤ 역함수는 [eqn: y= { 1} over {2 }(x+1)^2 (x le -1)]이다.

함수 [eqn: y= sqrt { -x+|x|}]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+a]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위가 [eqn: p<a<q]일 때, [eqn: p+q]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

두 함수 [eqn: f(x)= sqrt { x+4} -2], [eqn: g(x)= sqrt { -x+4} +2]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=-4], [eqn: x=4]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.4점]

⑤

① [eqn: 18]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: { 1} over {2^2 -1 }+ { 1} over {3^2 -1 }+ { 1} over {4^2 -1 }+cdots+ { 1} over { 9^2 -1}]의 값이 [eqn: { q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 두 자연수이다.) [4.2점]

③

① [eqn: 29]	② [eqn: 57]	③ [eqn: 74]

④ [eqn: 91]	⑤ [eqn: 101]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =n^2 +2n+1]일 때, [eqn: sum_k=2 ^20 a_2k]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 850]	② [eqn: 855]	③ [eqn: 860]

④ [eqn: 865]	⑤ [eqn: 870]

다음 주어진 수열 [eqn: left{b_n right]에서 [eqn: sum_k=1 ^47 b_k]의 값은? [4.3점]

①

[eqn: 1over2], [eqn: 1over3], [eqn: 2over3], [eqn: 1over4], [eqn: 2over4], [eqn: 3over4], [eqn: 1over5], [eqn: 2over5], [eqn: 3over5], [eqn: 4over5], [eqn: 1over6], [eqn: cdots]

① [eqn: 501over22]	② [eqn: 114over5]	③ [eqn: 45over2]

④ [eqn: 117over5]	⑤ [eqn: 499over5]

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =2n^2 +n]인 수열의 [eqn: a_10]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 33]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 41]

두 곡선 [eqn: y=3x^3 +2x^2 -6x-k], [eqn: y=-5x^2 +x]가 서로 다른 세 점에서 만나고 교점의 [eqn: x]좌표가 등비수열을 이룰 때, 그 세 교점 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]에 대한 [eqn: alpha+3beta+gamma]의 값은? (단, [eqn: alpha<beta<gamma], [eqn: k]는 실수) [4.4점]

⑤

① [eqn: -{ 10} over {3 }]	② [eqn: - {7} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -3]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_n+1 =3a_n -2]([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])로 정의할 때, [eqn: a_n+1 +a_n le 1000]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은? [4.2점]

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 4^2n -1]이 [eqn: 5]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 증명 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(a)], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(a)]라고 할 때, [eqn: f(1)+g(-1)]의 값은? [4.2점]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 4 ^{2} -1 =15]는 [eqn: 5]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=1]일 때 [eqn: 4^2n -1]은 [eqn: 5]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 [eqn: 4^2k -1]이 [eqn: 5]의 배수라고 가정하면

[eqn: 4^2k -1=5a] ([eqn: a]는 자연수)

이므로 [eqn: 4^2k =5a+1]

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: 4 ^{2k+2} -1=16 CDOT 4 ^{2k} -1# `````````````````````````````````=16(` BOX{````(가)````} `)-1# `````````````````````````````````=16 CDOT 5a+15# `````````````````````````````````=5(` BOX{````(나)````} `)]

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: 4^2n -1]은 [eqn: 5]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 4^2n -1]은 [eqn: 5]의 배수이다.

⑤

① [eqn: -11]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -7]

[eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때, 보기에서 거듭제곱근에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고른 것은? [4.5점]

①

ㄱ. [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: x ^{n} =2016]을 만족하는

실수 [eqn: x]는 [eqn: 1]개다.

ㄴ. [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: root {n} of {-2016} =- root {n} of {2016}]이다.

ㄷ. [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: root {n} of {-2016 ^{n}} =-2016]이다.

ㄹ. [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: root {n} of {(-2016) ^{n}} =-2016]이다.

ㅁ. [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: x ^{n} =2016]을 만족하는

실수 [eqn: x]는 [eqn: n]개다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄴ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ, ㄹ

④ ㄷ, ㄹ, ㅁ	⑤ ㄱ, ㄴ	, ㄹ, ㅁ

등대의 조명에서 단위 시간 동안 나오는 빛의 양이 [eqn: I rmcd]일 때, 등대로부터 [eqn: x rmm] 떨어진 곳에서 측정되는 빛의 밝기 [eqn: L rmlx]는 다음과 같다.
[eqn: L= { I cdot 10^-kx} over {x^2 }] (단, [eqn: k]는 상수)
기상 상태에 따른 [eqn: k]가 [eqn: { 3} over { 1000}]일 때, [eqn: I=3 times10^5]인 등대로부터 [eqn: 1000rmm] 떨어진 곳에서 측정된 빛의 밝기 [eqn: L_1]은 등대로부터 [eqn: 2000rmm] 떨어진 곳에서 측정된 빛의 밝기 [eqn: L_2]의 몇 배인가? (단, [eqn: rmcd](칸델라)는 광도의 단위이고 [eqn: rmlx](럭스)는 조명도의 단위이다.) [4.6점]

④

① [eqn: 4 times10^-3]	② [eqn: 4 times10^2]	③ [eqn: 3 times10^3]

④ [eqn: 4 TIMES 10 ^{3}]	⑤ [eqn: 3 times10^4]

실수 [eqn: x]값에 관계없이 [eqn: log_a-3 (ax^2 -ax+2)]가 정의되기 위한 모든 정수 [eqn: a]값의 합은? [4.3점]

①

① [eqn: 18]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 다음을 모두 만족시킬 때, [eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: k]의 값은? [4.5점]

③

(가) [eqn: 3^a =5^b =k^c]

(나) [eqn: ab=bc+ca]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

양의 실수 [eqn: x]에 대하여 상용로그 [eqn: logx]의 정수부분을 [eqn: f(x)]라 할 때, 수열 [eqn: left{a_n right]의 일반항 [eqn: a_n]을 [eqn: n]자리의 자연수 중 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수라 하자.

예를 들어, [eqn: n=1]일 때 자연수 [eqn: k]가 [eqn: 2]뿐이므로 [eqn: a_1 =1]이다. [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_10]의 값은? [4.2점]

(가) [eqn: f(4k)=f(k)]

(나) [eqn: f(5k)=f(k)+1]

③

① [eqn: { 5} over {9 }(10^9 -1)-1]	② [eqn: {5} over {9} (10 ^{9} -1)]	③ [eqn: {5} over {9} (10 ^{9} -1)+1]

④ [eqn: {5} over {9} (10 ^{10} -1)-1]	⑤ [eqn: {5} over {9} (10 ^{10} -1)]

서술형

첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은 [eqn: 100], 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합은 [eqn: 400]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 제[eqn: 11]항부터 제[eqn: 28]항까지의 합을 구하는 과정을 서술하시오. [10점]

[eqn: 684]

함수 [eqn: f(x)= {2x+1} over {x-a}]의 두 점근선의 교점을 [eqn: rmA]라 하고 역함수 [eqn: f ^{-1} (x)]의 두 점근선의 교점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y=x-2]에 이르는 거리가 [eqn: sqrt {2}]일 때, [eqn: {rmbarAB} ^{2}]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a>4]) [10점]

[eqn: 32]

함수 [eqn: f(x)= {a ^{{ {x} over {2} }} -a ^{{- {x} over {2} }}} over {a ^{{ {x} over {2} }} +a ^{{- {x} over {2} }}}]가 [eqn: f(x)= {1} over {2}], [eqn: f(y)= {1} over {3}]을 만족할 때,
[eqn: f(2x-2y)]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a>0], [eqn: a!=1]) [10점]

[eqn: 5over13]

[2016년 대진고]

[1학년 2학기 기말]

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